Minggu, 28 Februari 2010

PR 2 FI5002 Mekanika Statistik



% Ini adalah PR 2 FI5002 Mekanika Statistik.
% Copy dan Paste semua tampilan ini lalu simpan dalam file dengan extension .TEX
% Jalankan file tersebut dengan Latex untuk diubah ke format PDF
% PR dikumpulkan tanggal 8 Maret 2010
% Selamat bekerja
%----------------------------------------------------------------------
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{psfig}
\usepackage{cite}
\usepackage{latexsym}

\title{PR 2 Mekanika Statistik}

\begin{document}

\maketitle

\textbf{Soal 1}. Tinjau assembli gas klasik yang mengandung $N$ molekul diatomik yang tidak berinteraksi di dalam kotak dengan volum $V$ dan suhu $T$. Kotak tersebut dapat ditembus energi tetapi tidak dapat ditembus sistem. Hamiltonian satu molekul memenuhi
\begin{equation}
H(\vec{r}_1,\vec{r}_2,\vec{a}_1,\vec{a}_2)={1 \over 2m} \left({p_1^2+p_2^2} \right)+{1 \over 2} K |\vec{r}_1-\vec{r}_2|^2
\end{equation}
dengan $\vec{r}_1$, $\vec{r}_2$, $\vec{r}_1$, dan $\vec{r}_2$ adalah koordinat momentum dan koordinat ruang dua atom dalam molekul. Tentukan:
\begin{itemize}
\item[(a)] Energi bebas Helmholtz assembli
\item[(b)] Kapasitas kalor pada suhu konstan
\item[(c)] Rata-rata kuadrat dari diameter molekul, $\langle {|\vec{r}_1-\vec{r}_2|^2} \rangle$
\end{itemize}

\textbf{Soal 2}. Ulangi pertanyaan-pertanyaan di \textbf{Soal 1} dengan menggunakan hamiltonian berikut ini
\begin{equation}
H(\vec{r}_1,\vec{r}_2,\vec{a}_1,\vec{a}_2)={1 \over 2m} \left({p_1^2+p_2^2} \right)+ \epsilon |r_{12} - r_0|
\end{equation}
dengan $\epsilon$ dan $r_0$ adalah konstanta positif dan $r_{12} = |\vec{r}_1-\vec{r}_2|$

\textbf{Soal 3}. Dalam formulasi grand kanonik, energi bebas Helmholtz dan jumlah rata-rata sistem dalam assembli memenuhi
\begin{equation}
F = NkT \ln z - kT \ln Z_G(z,V,T)
\end{equation}
\begin{equation}
N = z {\partial \over \partial z}\ln Z_G(z,V,T)
\end{equation}
dengan $x = \exp (\mu /kT)$. Tunjukan bahwa hubungan berikut ini berlaku
\begin{equation}
\left( {\partial A \over \partial N} \right)_{V,T} = kT \ln z = \mu
\end{equation}

\textbf{Soal 4}. Buktikan \textit{teorem Van Leeuwen} bahwa fenomena diamagnetisme tidak muncul dalam fisika klasik. Berikut ini adalah \textit{hint} yang dapat digunakan.
\begin{itemize}
\item[(a)] Jika $H(\vec{a}_1,\vec{p}_2,...,\vec{p}_N;\vec{q}_1,\vec{q}_2,...,\vec{q}_N)$ adalah hamiltonian assembli partikel bermuatan tanpa kehadiran medan magnet, maka hamiltonian assembli tersebut dengan kediran medan magnet luar dapat ditulis $H(\vec{a}_1,\vec{p}_2,...,\vec{p}_N;\vec{q}_1-(e/c)\vec{A},\vec{q}_2-(e/c)\vec{A},...,\vec{q}_N-(e/c)\vec{A})$, di mana vektor potensial $\vec{A}$ memenuhi $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$.
\item[(b)] Magnetisasi dalam arah $B$ yang dihasilkan adalah
\begin{equation}
M=\left\langle {-{\partial H \over \partial B}} \right\rangle = kT {\partial \over \partial B} \ln Z_N
\end{equation}
\end{itemize}
\textbf{Soal 5}. Teori paramagnetisme \textit{Langevin}. Tinjaun $N$ atom magnetik di mana masing-masing atom memiliki momen magnetik instrinsik $\mu$. Hamiltonian assembli dengan kehadiran medan mahnetik $\vec{B}$ adalah
\begin{equation}
H = H(p,q) - \mu B \sum_{i=1}^N \cos \alpha_i
\end{equation}
di mana $H(p,q)$ adalah hamiltonian sistem tanpa kehadiran medan magnet, dan $\alpha_i$ adalah sudut antara $\vec{B}$ dan momen magnetik atom ke-$i$. Perlihatkan bahwa:
\begin{itemize}
\item[(a)] Momen magnetik induksi memenuhi
\begin{equation}
M = N \mu \left( {\coth \theta - {1 \over \theta}} \right)
\end{equation}
\item[(b)] Susseptibilitas magetik per atom adalah
\begin{equation}
\chi = {\mu^2 \over kT} \left( {{1 \over \theta^2} - {1 \over \cosh^2 \theta}} \right)
\end{equation}
\item[(c)] Pada suhu yang sangat tinggi, $\chi$ memenuhi hukum \textit{Curie}, yaitu $\chi \propto T^{-1}$. Tentukan konstanta kesebandingan. Konstanta tersebut dinamakan \textit{konstanta Curie}.
\end{itemize}
\end{document}
%-------------------------------------------------------------------------

Tidak ada komentar:

Posting Komentar